Информация о задаче

Задача 53275

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ ABC = $\beta$ , BC = a, AD — высота. На стороне AB взята точка P, причём ${\frac{AP}{PB}}$ = ${\frac{1}{2}}$ . Через точку P проведена окружность, касающаяся стороны BC в точке D. Найдите радиус этой окружности.

Подсказка

Пусть O — центр данной окружности. Примените теорему косинусов к треугольнику AOP.

Решение

Заметим, что центр O данной окружности лежит на высоте AD. Обозначим AD = h, радиус окружности — r. Предположим, что точка O лежит между точками A и D. Тогда

AB = $\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle ABD}}$ = $\displaystyle {\frac{h}{\sin \beta}}$ , AP = $\displaystyle {\frac{h}{3\sin \beta}}$ ,

AO = AD - OD = h - r, OP = r.

По теореме косинусов из треугольника OAP находим, что

OP² = AP² + AO² - 2AP^.AO cos(90^o - $\displaystyle \angle$ ABD),

или

r² = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{h}{3\sin \beta}}\right.$ $\displaystyle {\frac{h}{3\sin \beta}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{h}{3\sin \beta}}\right)^{2}_{}$ + (h - r)² - 2h^. $\displaystyle {\frac{h-r}{3}}$ .

Отсюда находим, что

r = $\displaystyle {\frac{h(3\sin ^{2}\beta + 1)}{12\sin ^{2}\beta}}$ .

Из треугольника ABC по теореме синусов находим, что

AB = $\displaystyle {\frac{a\sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha}}$ .

Тогда

h = AB sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{a\sin \beta \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha}}$ .

Следовательно,

r = $\displaystyle {\frac{a\sin (\alpha + \beta)(3\sin ^{2}\beta + 1)}{12\sin \alpha \sin \beta}}$ .

Если точка A расположена между точками O и D, то решение аналогично (в этом случае AO = r - h, а cos $\angle$ OAP = - sin $\beta$ ).

Ответ

${\frac{a\sin (\alpha + \beta)(3\sin ^{2}\beta + 1)}{12\sin \alpha \sin \beta}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	970