Задача 53291

Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема синусов ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка C лежит на этой дуге, а точка D – на хорде AB. При этом  AD = 2,  BD = 1,  DC = .
Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

  Пусть O – центр окружности. Тогда  AO = AB/2sin 60° = .
  Поскольку  AD = 2,  AO = , а  ∠DAO = 30°,  то треугольник AOD – прямоугольный, а  OD = 1.  Следовательно, треугольник ODC – прямоугольный
(OC² = OD² + CD²).  Значит,  ∠CDA = ∠CDO – ∠ADO = 90° – 2∠DBO = 30°.
  Поэтому  S_ABC = ½ AB·AD sin 30° = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	986