Информация о задаче

Задача 53295

Темы:	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямая делит длину дуги окружности в отношении 1:3. В каком отношении делит она площадь круга?

Подсказка

Длина дуги (и площадь сектора) пропорциональна соответствующему центральному углу.

Решение

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна соответствующему центральному углу, то меньший из полученных центральных углов составляет ${\frac{2\pi}{4}}$ = ${\frac{\pi}{2}}$ .

Если R — радиус окружности, то площадь соответствующего сектора равна ${\frac{\pi R^{2}}{4}}$ . Вычитая из площади этого сектора площадь соответствующего треугольника, получим, что

$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{4}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 2)}{4}}$ .

Оставшаяся часть круга имеет площадь, равную

$\displaystyle \pi$ R² - $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 2)}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}(3\pi + 2)}{4}}$ .

Следовательно, искомое отношение равно ${\frac{\pi - 2}{3\pi + 2}}$ .

Ответ

${\frac{\pi - 2}{3\pi + 2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	990