Информация о задаче

Задача 53296

Темы:	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
Темы:	[	Концентрические окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны две концентрические окружности. Касательная к меньшей окружности делит длину дуги большей окружности в отношении 1:5. Найдите отношение площадей кругов, ограниченных этими окружностями.

Подсказка

Длина дуги окружности пропорциональна величине соответствующего центрального угла.

Решение

Пусть A и B — точки пересечения данной касательной с большей окружностью, C — точка касания с меньшей окружностью, O — центр окружностей, r и R — их радиусы (r < R).

Поскольку длина дуги пропорциональна соответствующему центральному углу, то

$\displaystyle \angle$ AOB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ ^.2 $\displaystyle \pi$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ .

Из прямоугольного треугольника OCB находим, что

$\displaystyle {\frac{r}{R}}$ = $\displaystyle {\frac{CO}{OB}}$ = cos $\displaystyle \angle$ COB = cos $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ AOB = cos 30^o = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Следовательно, отношение площадей данных кругов равно

$\displaystyle {\frac{\pi r^{2}}{\pi R^{2}}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{r}{R}}\right.$ $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{r}{R}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ .

Ответ

${\frac{3}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	991