Задача 53349

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  ∠PAC = ∠PBC.  Из точки P на стороны BC и CA опущены перпендикуляры PM и PK соответственно. Пусть D – середина стороны AB. Докажите, что  DK = DM.

Подсказка

Докажите равенство треугольников KED и DFM, где E и F – середины AP и BP.

Решение

  Пусть  ∠PAC = ∠PBC = α.  Если E и F – середины AP и BP соответственно, то  ∠KEP = ∠MFP = 2α.  Поскольку DE и DF – средние линии треугольника APB, то DEPF – параллелограмм.
  KE = EP = DF  и  ED = FP = FM,  ∠KED = 2α + ∠PED = 2α + ∠PFD = ∠MFD.   Поэтому треугольники KED и DFM равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  DK = DM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1045