Задача 53366

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Купцов Л.

На сторонах AB и BC треугольника ABC как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники APB и BQC с одинаковыми углами величины φ при их общей вершине B. Найдите углы треугольника PQK, где K – середина стороны AC.

Подсказка

Пусть M и N – середины AB и BC. Докажите равенство треугольников KNQ и PMK.

Решение

  Пусть  ∠B = β,  M и N – середины сторон AB и BC треугольника ABC. Тогда  KN = ½ AB = PM,  KM = QN,  ∠KNQ = ∠KNC + ∠CNQ = β + 2φ,
∠KMP = β + 2φ.
  Следовательно, треугольники KNQ и PMK равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому треугольник PQK – равнобедренный. Значит,
∠PKQ = ∠PKM + ∠MKN + ∠NKQ = β + ∠PKM + ∠NKQ = β + ∠PKM + ∠MPK = β + 180° – ∠PMK = β + 180° – (β + 2φ) = 180° – 2φ,  ∠QPK = ∠PQK = φ.

Ответ

180° – 2φ,  φ, φ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1062