От квадрата отрезан прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна стороне квадрата.
Докажите, что сумма трёх углов, под которыми видна из трёх оставшихся вершин его гипотенуза, равна 90°.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

От квадрата отрезан прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна стороне квадрата.
Докажите, что сумма трёх углов, под которыми видна из трёх оставшихся вершин его гипотенуза, равна 90°.

Подсказка

Рассмотрите вспомогательные равные треугольники.

Решение

  Пусть точки M и N лежат соответственно на сторонах AB и AD квадрата ABCD, причём  AN + AM = AB.  Тогда  BM = AN,  DN = AM.
  Поэтому треугольник BAN равен треугольнику CBM, а треугольник DAM – треугольнику CDN (по двум катетам). Следовательно,
∠MBN + ∠MCN + ∠MDN = ∠BCM + ∠MCN + ∠NCD = ∠BCD = 90°.

Источники и прецеденты использования