|
|
 |
Условие
Каждая сторона квадрата ABCD разделена на три равные части и соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками (см. рис.). Докажите, что ∠AKM = ∠CDN.
Подсказка
Рассмотрите вспомогательные равные треугольники.
Решение 1
Из равенства прямоугольных треугольников MLK и DQP (рис. слева) следует, что ∠KML = ∠PDQ, а так как LMK – внешний угол треугольника AKM, то ∠AKM = ∠LMK – 45°. Поэтому осталось доказать, что ∠PDN = 45°.
Из равенства прямоугольных треугольников DFP и PEN следует, что DP = PN и ∠DPN = 90°. Следовательно,
∠CDN = ∠QDP – ∠NDP = ∠QDP – 45° = ∠KML – 45° = ∠AKM.
Решение 2
Треугольник AKM равен треугольнику NMS (рис. справа), а треугольник CDN – треугольнику NGS. Поэтому ∠AKM = ∠NMS и ∠CDN = ∠NGS. Заметим, что точки M, L, S, N, H, Q, G и F равноудалены от центра квадрата ABCD, значит, они лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы NMS и NGS опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠AKM = ∠NMS = ∠NGS = ∠CDN.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1067 |
