Задача 53393

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC с углом A, равным 120°, биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Докажите, что  ∠A₁C₁O = 30°.

Подсказка

Докажите, что A₁C₁ – биссектриса угла AA₁B и примените формулу для угла между биссектрисами треугольника.

Решение

  Заметим, что луч AB – биссектриса внешнего угла A треугольника AA₁С. Так как СС₁ – биссектриса угла C, то С₁ – центр вневписанной окружности треугольника AA₁С. Значит, A₁С₁ – биссектрисе угла AA₁B.
  Пусть K – точка пересечения биссектрис BO и A₁C₁ треугольника BAA₁. Тогда  ∠C₁KO = 90° + ½ ∠BAA₁ = 120°, а так как  ∠BOC = 90° + ½ ∠BAC = 150°,  то по теореме о внешнем угле треугольника  ∠A₁C₁O = ∠BOC – ∠C₁KO = 30°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1121