Задача 53409

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин B и C пересекаются в точке M. Известно, что  BM = CM.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Подсказка

Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Решение

Пусть BD и CE – высоты треугольника ABC. Треугольник BMC равнобедренный, поэтому  ∠CBM = ∠BCM,  значит, прямоугольные треугольники CBD и CBE равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому  ∠ACB = ∠ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1137