Задача 53425

Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Равные треугольники. Признаки равенства ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Через середину M отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках A и B.
Докажите, что M также середина AB.

Подсказка

Воспользуйтесь признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решение

Пусть точки A и P лежат на прямой a, а точки B и Q – на параллельной ей прямой b, причём M – середина отрезка PQ, а прямая AB проходит через точку M. Тогда углы APM и BQM – внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых a и b секущей PQ. Значит,  ∠APM = ∠BQM.  Кроме того,  ∠AMP = ∠BMQ  как вертикальные углы, а  MP = MQ  по условию. Следовательно, треугольники APM и BQM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому  AM = BM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1153