Задача 53442

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Прямая пересекает боковую сторону AC, основание BC и продолжение боковой стороны AB равнобедренного треугольника ABC за точку B в точках K, L и M соответственно. При этом треугольники CKL и BML также равнобедренные. Найдите их углы.

Подсказка

Докажите, что CK и ML – основания равнобедренных треугольников CKL и BML и воспользуйтесь теоремой о сумме углов треугольника.

Решение

  Пусть  ∠C = ∠B = 2β.
  Поскольку угол MBL – тупой, то в равнобедренном треугольнике MBL основанием является ML. По теореме о внешнем угле треугольника  ∠BLM = β.
  В треугольнике CKL  ∠KLC = β,  ∠KCL = 2β,  значит, угол KLC равен β или 2β. В первом случае  β = 45°,  2β = 90°,  что невозможно. Во втором случае
5β = 180°,  откуда  β = 36°.

Ответ

36°, 36°, 108° и 72°, 72°, 36°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1170