Задача 53443

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равные треугольники. Признаки равенства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся ею в отношении  AO : OB = CO : OD = 1 : 2.  Прямые AD и BC пересекаются в точке M.
Докажите, что треугольник DMB – равнобедренный.

Подсказка

∠MDB = ∠MBD  как суммы соответственно равных углов.

Решение

Поскольку  DO = ²/₃ DC = ²/₃ AB = BO,  то треугольник BOD – равнобедренный, поэтому  ∠OBD = ∠ODB.  Треугольники AOD и COB равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  ∠CBO = ∠ADO.  Значит,  ∠MDB = ∠ADB = ∠ADO + ∠ODB = ∠CBO + ∠OBD = ∠CBD = ∠MBD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1171