Задача 53457

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дана незамкнутая ломаная ABCD, причём  AB = CD,  ∠ABC = ∠BCD  и точки A и D расположены по одну сторону от прямой BC. Докажите, что  AD || BC.

Подсказка

Пусть AC и BD пересекаются в точке O. Докажите равенство углов при общей вершине O равнобедренных треугольников AOD и BOC.

Решение

Пусть AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники ABC и DCB равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому  ∠BAC = ∠BDC,  а так как
∠AOB = ∠DOC,  то  ∠ABO = ∠DCO.  Значит, равны треугольники AOB и DOC (по стороне и двум прилежащим к ней углам), поэтому  AO = DO  и  BO = CO. Углы при общей вершине O равнобедренных треугольников AOD и BOC равны, поэтому равны и углы при их основаниях:  ∠ACB = ∠CAD.  Следовательно,  AD || BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1186