Задача 53477

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Средняя линия треугольника ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Композиция центральных симметрий ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте пятиугольник по серединам его сторон.

Подсказка

Середины трёх последовательных сторон пятиугольника и середина одной из его диагоналей являются вершинами параллелограмма.

Решение

Первый способ.

Предположим, что задача решена. Пусть M₁, M₂, M₃, M₄, M₅ — середины последовательных сторон A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄, A₄A₅, A₁A₅ искомого пятиугольника. Если K — середина диагонали A₃A₅, то четырёхугольник M₁M₂KM₅ — параллелограмм.

Построение: находим точку K; строим треугольник A₃A₄A₅ по серединам его сторон M₃, M₄ и K; построенный треугольник достраиваем до искомого пятиугольника.

Второй способ.

Рассмотрите композицию симметрий относительно середин последовательных сторон пятиугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1206