Задача 53485

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D; прямая, проведённая через точку D параллельно CA, пересекает сторону AB в точке E; прямая, проведённая через точку E параллельно BC, пересекает сторону AC в F. Докажите, что  EA = FC.

Подсказка

Докажите, что треугольник AED – равнобедренный.

Также доступны документы в формате TeX

Решение

Поскольку  ED || AC,  то  ∠EDA = ∠CAD,  поэтому треугольник AED – равнобедренный,  EA = ED.  Поскольку противоположные стороны четырёхугольника CDEF попарно параллельны, то CDEF – параллелограмм. Следовательно,  FC = ED = EA.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1214