Задача 53495

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найдите диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов прямоугольника со сторонами 1 и 3.

Подсказка

Полученный четырёхугольник – квадрат.

Решение

  Пусть ABCD – данный прямоугольник,  AB = 1,  BC = 3.  Четырёхугольник MNKL, образованный пересечением биссектрис углов A и B, A и D, C и D, B и C, – квадрат.
  Пусть P – точка пересечения биссектрисы угла A со стороной BC, Q – основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на прямую AP. Поскольку
BP = AB = 1,  PC = BC – BP = 2,  то из равенства треугольников PQC и MNK (по катету и острому углу) следует, что  MK = PC = 2.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1224