Задача 53503

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Построения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Внутри произвольного угла взята точка M. С помощью циркуля и линейки проведите через точку M прямую так, чтобы её отрезок, заключённый между сторонами угла, делился бы точкой M пополам.

Подсказка

Примените теорему о средней линии треугольника.

Решение

Первый способ.

Пусть A — вершина данного угла. Проведём через точку M прямую, параллельную одной из сторон угла. Пусть K — точка пересечения этой прямой с другой стороной угла.

На продолжении отрезка AK за точку K отложим отрезок KB, равный AK. Тогда BM — искомая прямая, поскольку KM — средняя линия получившегося треугольника.

Второй способ.

Пусть XAY — данный угол, P — точка на продолжении отрезка AM за точку M такая, что MP = AM.

Через точку P проведём прямую, параллельную стороне AX данного угла. Пусть B — точка её пересечения со стороной AY, а C — точка пересечения прямой BM со стороной AX.

Тогда BC — искомая прямая, т.к. треугольник PMB равен треугольнику AMC по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Третий способ.

Пусть l₁ и l₂ — стороны данного угла, m₁ и m₂ — их образы при симметрии относительно данной точки M, B — точка пересечения l₁ и m₂, C — точка пересечения l₂ и m₁. Тогда прямая BC — искомая.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1232