Задача 53504

Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.

Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.

Решение

Первый способ.

Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведём прямую, параллельную диагонали BD. Пусть M — точка пересечения этой прямой с продолжением основания AD, CK — высота трапеции.

Поскольку CM = BD = AC и ACM = 90^o, то CMK = 45^o и KM = CK. Следовательно, средняя линия трапеции равна

= = AM = MK = CK = 10.

Второй способ.

Пусть P и Q — середины оснований соответственно BC и AD, а R и S — середины боковых сторон соответственно AB и CD данной трапеции ABCD. Стороны четырёхугольника PSQR параллельны диагоналям трапеции как средние линии соответствующих треугольников, поэтому PSQR — прямоугольник. Его диагональ PQ равна высоте трапеции, а диагональ RS — средней линии трапеции. Поскольку диагонали прямоугольника равны, то RS = PQ = 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1233