ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53504
Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.


Подсказка

Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную диагонали.


Решение

Первый способ.

Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведём прямую, параллельную диагонали BD. Пусть M — точка пересечения этой прямой с продолжением основания AD, CK — высота трапеции.

Поскольку CM = BD = AC и $ \angle$ACM = 90o, то $ \angle$CMK = 45o и KM = CK. Следовательно, средняя линия трапеции равна

$\displaystyle {\frac{BC + AD}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{AD + DM}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AM = MK = CK = 10.

Второй способ.

Пусть P и Q — середины оснований соответственно BC и AD, а R и S — середины боковых сторон соответственно AB и CD данной трапеции ABCD. Стороны четырёхугольника PSQR параллельны диагоналям трапеции как средние линии соответствующих треугольников, поэтому PSQR — прямоугольник. Его диагональ PQ равна высоте трапеции, а диагональ RS — средней линии трапеции. Поскольку диагонали прямоугольника равны, то RS = PQ = 10.


Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1233

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .