Информация о задаче

Задача 53508

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме со сторонами a и b и углом $\alpha$ проведены биссектрисы четырёх углов. Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного этими биссектрисами.

Подсказка

Четырёхугольник, ограниченный указанными биссектрисами, — прямоугольник.

Решение

Пусть биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M, $\angle$ BAD = $\alpha$ ( $\alpha$ < 90^o), AB = a, BC = b и b > a. Тогда

$\displaystyle \angle$ BMA = $\displaystyle \angle$ MAD = $\displaystyle \angle$ MAB = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Следовательно, треугольник ABM — равнобедренный и BM = AB = a. Поэтому MC = b - a.

Расстояние между проведённой биссектрисой и биссектрисой угла BCD равно

MC sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = (b - a)sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Аналогично найдем, что расстояние между биссектрисами углов B и D равно (b - a)cos ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Четырёхугольник, ограниченный указанными биссектрисами, — прямоугольник со сторонами, равными

(b - a)sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , (b - a)cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Следовательно, его площадь равна

(b - a)sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ^.(b - a)cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (a - b)²sin $\displaystyle \alpha$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ (a - b)²sin $\alpha$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1237