Задача 53511

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно a и b и пересекаются под углом 60°.
Найдите диагонали четырёхугольника.

Подсказка

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение

Как известно, середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. По условию диагонали этого параллелограмма равны a и b, а угол между ними равен 60°. По теореме косинусов стороны параллелограмма равны  ½  и  ½,  а диагонали четырёхугольника в два раза больше соответствующих сторон параллелограмма.

Ответ

,  .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1240