Информация о задаче

Задача 53521

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из одной точки окружности проведены две хорды, равные 9 и 17. Найдите радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5.

Подсказка

Отрезок, соединяющий середины данных хорд, есть средняя линия треугольника с вершинами в концах этих хорд.

Решение

Пусть AB = 9 и AC = 17 — данные хорды, M и K — их середины. Поскольку MK — средняя линия треугольника ABC, то BC = 10.

По формуле Герона

S_ABC = $\displaystyle \sqrt{18\cdot 1\cdot 9\cdot 8}$ = 9^.4 = 36.

С другой стороны,

S_АВС = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.AC sin $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.9^.17 sin $\displaystyle \angle$ A.

Отсюда находим, что sin $\angle$ A = ${\frac{8}{17}}$ . Следовательно, искомый радиус равен

$\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \angle A}}$ = $\displaystyle {\frac{10\cdot 17}{2\cdot 8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{85}{8}}$ .

Ответ

${\frac{85}{8}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1250