Информация о задаче

Задача 53525

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки K, L, M делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AK : BK = CL : BL = CM : DM = 1 : 2. Радиус окружности, описанной около треугольника KLM, равен ${\frac{5}{2}}$ , KL = 4, LM = 3. Какова площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что KM < KL?

Подсказка

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Решение

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника KLM ( R = ${\frac{5}{2}}$ ), $\angle$ KML = $\alpha$ , $\angle$ MKL = $\beta$ . Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{KL}{2R}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ , sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{LM}{2R}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Поскольку ML < KL, то угол MKL — острый. Поэтому

cos $\displaystyle \angle$ MKL = cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ , | cos $\displaystyle \alpha$ | = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Тогда

KM = 2R sin $\displaystyle \angle$ KLM = 5 sin(180^o - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )) = 5 sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) =

= 5(sin $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ + cos $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle {\frac{16 \pm 9}{5}}$ .

Если cos $\alpha$ = ${\frac{3}{5}}$ , т.е. угол KML — острый, то KM = 5 > KL. Поэтому

cos $\displaystyle \alpha$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ KM = $\displaystyle {\frac{16 - 9}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ .

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Поскольку $\angle$ BOC = $\angle$ KLM, то

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD sin(180^o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD sin( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ KL^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ LM^. $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{189}{25}}$ .

Ответ

${\frac{189}{25}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1254