Задача 53531

Темы:    [ Средняя линия трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника имеются две точки. Расстояние от одной из них до сторон треугольника равны 1, 3 и 15, а от другой (в том же порядке) – 4, 5 и 11.
Найдите радиус вписанной окружности данного треугольника.

Подсказка

Пусть M₁ и M₂ – данные точки. На прямой  M₁M₂ возьмите такую точку O, что  OM₂ = M₂M₁.  Тогда O – центр вписанной окружности данного треугольника.

Решение

  Пусть M₁ и M₂ – данные точки; O – точка, для которой M₂ есть середина OM₁. По свойству средней линии трапеции расстояние от точки O до сторон треугольника равны соответственно  2·4 – 1 = 7,  2·5 – 3 = 7,  2·11 – 15 = 7.
  Поскольку отрезок OM₁ не может пересекать ни одной из сторон треугольника, то O – центр вписанной в него окружности, а её радиус равен 7.

Ответ

7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1260