Информация о задаче

Задача 53541

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E, F, H, G являются соответственно серединами отрезков AB, BC, CD, AD; O — точка пересечения отрезков EH и FG. Известно, что EH = a, FG = b, $\angle$ FOH = 60^o. Найдите диагонали четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Четырёхугольник EFHG — параллелограмм.

Решение

FH и GE — средние линии треугольников BDC и BDA. Поэтому FH = GE = ${\frac{1}{2}}$ BD. EF и GH — средние линии треугольников ABC и ACD. Поэтому EF = GH = ${\frac{1}{2}}$ AC. Следовательно, EFHG — параллелограмм.

По теореме косинусов находим FH и GH из треугольников FOH и HOG находим, что

FH² = OF² + OH² - 2OF^.OH cos 60^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (b² + a² - ab),

GH² = OH² + OG² - 2OH^.OG cos 120^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a² + b² + ab).

Следовательно,

BD = 2FG = $\displaystyle \sqrt{a^{2}+ b^{2}- ab}$ , AC = 2GH = $\displaystyle \sqrt{a^{2}+ b^{2}+ ab}$ .

Ответ

$\sqrt{a^{2}+b^{2} \pm ab}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1270