|
|
 |
Условие
Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D – в точке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна полупериметру трапеции.
Подсказка
Трегольники APB и DQC – прямоугольные; прямая PQ проходит через середины боковых сторон данной трапеции.
Решение 1
Биссектрисы внешних углов A и B трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. Поэтому треугольник APB – прямоугольный.
Если M – середина AB, то PM = ½ AB. Кроме того, поскольку треугольник AMP – равнобедренный, то ∠APM = ∠PAM = ∠KAP, где K – точка на продолжении основания AD за вершину A. Следовательно, PM || AD. Аналогично медиана QN прямоугольного треугольника DQC параллельна AD и
QN = ½ CD.
Поскольку MN – средняя линия трапеции ABCD, то MN || AD. Поэтому точки P, M, N и Q лежат на одной прямой. Следовательно,
PQ = PM + MN + NQ = ½ AB + ½(AD + BC) + ½ CD = ½ (AB + AD + BC + CD).
Решение 2
Продолжим отрезки BP и CQ до пересечения с прямой AD в точках R и S соответственно. В силу равенства ∠ABR = ∠TBR = ∠ARB (T – точка на продолжении отрезка CB за точку B) треугольник BAR – равнобедренный. Значит, его высота AP является медианой, то есть P – середина BR. Аналогично Q – середина CS, то есть PQ – средняя линия трапеции RBCS. Следовательно, PQ = ½ (BC + RS) = ½ (BC + RA + AD + DS) = ½ (BC + AB + AD + CD).
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1279 |
