Задача 53558

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольнике ABCD точка M – середина стороны BC, N – середина стороны CD, P –; точка пересечения отрезков DM и BN.
Докажите, что угол  ∠MAN = ∠BPM.

Подсказка

Соедините точку C серединой стороны AB.

Решение

  Пусть K – середина стороны AB, Q – точка пересечения отрезков AM и CK. Тогда  ∠MQC = ∠BPM  (они симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC).
  С другой стороны, так как AKCN – параллелограмм,  ∠MQC = ∠MAN.  Следовательно,  ∠MAN = ∠BPM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1288