Задача 53570

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC и CDA, со стороной AC, если

а) AB = 5, BC = 7, CD = DA;

б) AB = 7, BC = CD, DA = 9.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности между полупериметром и противолежащей стороной треугольника (x = p - a).

Решение

а) Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке K, а вписанная окружность треугольника CDA — в точке M. Поскольку расстояние от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью равно разности между полупериметром и противолежащей стороной треугольника, то

AK = , AM = .

Тогда

KM = | AK - AM| = = | 7 - 9| = 1.

Ответ

а) 1; б) 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1311