Задача 53582

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC  ∠A = 60°,  O – середина гипотенузы AB, P – центр вписанной окружности. Найдите угол POC.

Решение

Поскольку  OC = OA,  а  ∠A = 60°,  то треугольник AOC – равносторонний.

Первый способ. Поэтому  ∠BPC = 90° + ½ ∠A = 120° = BOC.  Значит, точки B, O, P, C лежат на одной окружности. Следовательно,  ∠POC = ∠PBC = 15°.

Второй способ. Пусть вписанная окружность касается катетов AC и BC в точках L и M. Поскольку CLPM – квадрат,  PK = PL = AC – AL = AO – AK = OK.  Следовательно, прямоугольный треугольник OKP равнобедренный,  ∠KOP = 45°,  ∠POC = ∠AOC – ∠KOP = 15°.

Ответ

15°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1323