Информация о задаче

Задача 53585

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD известно, что $\angle$ ABD = $\angle$ ACD = 45^o, $\angle$ BAC = 30^o, BC = 1. Найдите AD.

Подсказка

Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности и примените обобщенную теорему синусов (a = 2R sin $\alpha$ ).

Решение

Поскольку из точек B и C, расположенных по одну сторону от прямой AD, отрезок AD виден под одним и тем же углом, то точки A, B, C и D лежат на одной окружности. Пусть R — радиус этой окружности. Тогда из треугольника ABC находим, что

R = $\displaystyle {\frac{BC}{2 \sin \angle BAC}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{2\sin 30^{\circ}}}$ = 1,

а из треугольника ABD —

AD = 2R sin $\displaystyle \angle$ ABD = 2 sin 45^o = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

$\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1326