Информация о задаче

Задача 53587

Тема:

[

]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Найдите периметр четырехугольника ABCD, в котором AB = CD = a, $\angle$ BAD = $\angle$ BCD = $\alpha$ < 90^o, BC $\neq$ AD.

Примените теорему косинусов.

Обозначим AD = x, BC = y. По теореме косинусов из треугольников ABD и CBD находим, что

BD² = a² + x² - 2ax^.cos $\displaystyle \alpha$ , BD² = a² + y² - 2ay^.cos $\displaystyle \alpha$ ,

поэтому

a² + x² - 2ax^.cos $\displaystyle \alpha$ = a² + y² - 2ay^.cos $\displaystyle \alpha$ .

Тогда

x² - y² = (x - y)^.2a^.cos $\displaystyle \alpha$ ,

а т.к. x $\neq$ y, то x + y = 2a^.cos $\alpha$ . Следовательно,

AB + CD + AD + BC = a + a + x + y = 2a + 2a^.cos $\displaystyle \alpha$ .

2a(1 + cos $\alpha$ ).


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1328