Информация о задаче

Задача 53588

Тема:

[

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Условие

На окружности, описанной около треугольника ABC, взята точка M. Прямая MA пересекается с прямой BC в точке L, а прямая CM — с прямой AB в точке K. Известно, что AL = a, BK = b, CK = c. Найдите BL.

Подсказка

Примените теорему синусов к треугольникам ABL и BCK.

Решение

Обозначим

$\displaystyle \angle$ BAM = $\displaystyle \angle$ BCM = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ ABL = $\displaystyle \varphi$ .

По теореме синусов из треугольников ABL и BCK находим, что

$\displaystyle {\frac{BL}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin \varphi}}$ , $\displaystyle {\frac{b}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{\sin (180^{\circ }- \varphi)}}$ .

Поскольку sin(180^o - $\varphi$ ) = sin $\varphi$ , то, разделив почленно полученные равенства, найдем, что ${\frac{BL}{b}}$ = ${\frac{a}{c}}$ , откуда BL = ${\frac{ab}{c}}$ .

Ответ

${\frac{ab}{c}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1329