Информация о задаче

Задача 53589

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки A, B и C расположены на одной прямой. Через точку B проходит некоторая прямая. Пусть M - произвольная точка на этой прямой. Докажите, что расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABM и CBM не зависит от положения точки M. Найдите это расстояние, если AC = a, $\angle$ MBC = $\alpha$ .

Подсказка

Опустите перпендикуляры из центров указанных окружностей на прямую AC.

Решение

Рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Пусть O₁ и O₂ - центры описанных окружностей треугольников ABM и CBM, P₁ и P₂ - проекции точек O₁ и O₂ на прямую AC, F - проекция точки O₂ на прямую P₁O₁. Поскольку O₁P₁ и O₂P₂ - серединные перпендикуляры к отрезкам AB и AC, то P₁P₂ = AC/2 = a/2. Тогда и O₂F = a/2, а т.к. $\angle$ FO₁O₂ = $\angle$ MBC = $\alpha$ , то из прямоугольного треугольника O₁O₂F находим, что O₁O₂ = O₂F/sin $\angle$ FO₁O₂ = a/(2^.sin $\alpha$ ).

Для остальных случаев аналогично.

Ответ

a/(2^.sin $\alpha$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1330