Задача 53606

Темы:    [ Радикальная ось ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Даны две окружности с центрами O1 и O2 . Докажите, что геометрическим местом точек M , для которых касательные к данным окружностям равны, есть прямая, перпендикулярная O1O2 , или часть такой прямой. В каких случаях искомым геометрическим местом является вся прямая?

Решение

Пусть R и r — радиусы данных окружностей. Если t — длина касательных, то

O1M2 = t2 + R2, O2M2 = t2 + r2.
Это означает, что точка M лежит на перпендикуляре к O1O2 , для которого O1M2 - O2M2 = R2 - r2 .
При этом в наше геометрическое место входят все точки этого перпендикуляра, если окружности расположены одна вне другой. Для пересекающихся окружностей исключается их общая хорда.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1347