Информация о задаче

Задача 53621

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Острый угол равнобедренной трапеции равен 75^o. Прямые, проходящие через концы одного из оснований трапеции параллельно противоположным боковым сторонам, пересекаются на окружности, описанной около трапеции. Найдите отношение оснований трапеции.

Подсказка

Докажите, что указанные прямые не могут проходить через концы большего основания трапеции. Примените обобщенную теорему синусов ( a = 2R sin $\alpha$ ).

Решение

Пусть указанные прямые проходят через концы A и D большего основания AD данной трапеции ABCD и пересекаются в точке M, расположенной на описанной окружности трапеции ABCD. Поскольку AM || CD, то $\angle$ MDA = $\angle$ BAD = 75^o. Аналогично $\angle$ MAD = 75^o. Тогда угол AMD треугольника AMD равен

180^o - 2^.75^o = 30^o,

а т.к. точки M и B лежат по разные стороны от хорды AD, то

$\displaystyle \angle$ ABD = 180^o - $\displaystyle \angle$ AMD = 150^o,

что невозможно, т.к. угол ABD есть часть угла ABC, равного 105^o.

Пусть теперь указанные прямые проходят через концы B и C меньшего основания данной трапеции и пересекаются в точке M, расположенной на описанной окружности этой трапеции. Тогда

$\displaystyle \angle$ BMC = 180^o - ( $\displaystyle \angle$ MBC + $\displaystyle \angle$ MCB) = 180^o - ( $\displaystyle \angle$ ADC + $\displaystyle \angle$ BAD) =

= 180^o - 150^o = 30^o.

Поскольку точки M и A лежат по одну сторону от хорды BD, То

$\displaystyle \angle$ BMD = $\displaystyle \angle$ BAD = 75^o.

Значит,

$\displaystyle \angle$ AMB = $\displaystyle \angle$ CMD = $\displaystyle \angle$ BMD - $\displaystyle \angle$ BMC = 75^o - 30^o = 45^o,

$\displaystyle \angle$ AMD = $\displaystyle \angle$ AMB + $\displaystyle \angle$ BMC + $\displaystyle \angle$ CMD = 30^o + 45^o + 45^o = 120^o.

Обозначим через R радиус описанной окружности данной трапеции. Тогда

BC = 2R sin $\displaystyle \angle$ BMC = 2R sin 30^o = R,

AD = 2R sin $\displaystyle \angle$ AMD = 2R sin 120^o = R $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Следовательно, ${\frac{AD}{BC}}$ = $\sqrt{3}$ .

Ответ

$\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1356