Задача 53632

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Найдите AC, если
  а)  AA₁ = 4,  BB₁ = 5,  BC = 6;
  б)  A₁C = 8,  B₁C = 5,  BB₁ = 12.

Подсказка

а) Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.
б) Треугольники CAA₁ и CBB₁ подобны.

Решение

  а) Из равенства  BC·AA₁ = AC·BB₁  (удвоенная площадь треугольника ABC) находим, что  AC = ²⁴/₅.

  б) По теореме Пифагора  BC² = B₁B² + B₁C² = 169.
  Из подобия прямоугольных треугольников CAA₁ и CBB₁ следует, что  AC : CA₁ = BC : CB₁,  откуда  AC = BC·^CA₁/_CB1 = ¹⁰⁴/₅.

Ответ

а) 4,8;   б) 20,8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1367