Задача 53638

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

Подсказка

Примените теорему синусов.

Решение

Разделим почленно данное равенство на равенство  ^a/_{sin α} = ^b/_{sin β}  (теорема синусов). Получим равенство  tg α = tg β.  Поскольку каждый из углов α и β меньше 180°, то  α = β.  Следовательно, данный треугольник – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1373