Задача 53648

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, не являющегося ромбом, при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.

Решение

Пусть биссектрисы углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M , биссектрисы углов при вершинах C и D — в точке N , углов при вершинах A и D — в точке K , углов при вершинах A и B — в точке L .
Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то MLKN — прямоугольник.
Предположим, что AB>BC .
Если луч BM пересекает прямую CD в точке T , то

BTC = TBA = CBT.
Значит, треугольник BCT — равнобедренный. Поэтому
CT=BC < AB=CD.
Следовательно, точка T лежит между точками C и D и
DT = CD-CT = AB-BC.

Поскольку CM — высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, то M — середина BT . Аналогично докажем, что если S — точка пересечения луча DK со стороной AB , то K — середина DS . Точки M и K — середины противоположных сторон параллелограмма BTDS . Следовательно,
MK = DT = AB-BC
Поскольку диагонали прямоугольника равны, то LN=MK = AB-BC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1383