Задача 53658

Темы:    [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через произвольную точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые параллельные сторонам треугольника. При этом треугольник разбивается на три параллелограмма и три треугольника. Докажите, что произведение площадей параллелограммов в восемь раз больше произведения площадей треугольников.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Пусть точка M лежит на стороне BC треугольника ABC, а прямые, проведённые через эту точку параллельно сторонам AB и AC, отсекают от треугольника ABC треугольники с площадями S₁ и S₂. Тогда площадь оставшегося параллелограмма равна 2.

Если указанные прямые пересекают стороны AB и AC в точках P и Q и при этом S_CQM = S₁ и S_BPM = S₂, то

= = = = ,

откуда находим, что

S_APMQ = 2.

Пусть теперь S₁, S₂ и S₃ — площади треугольников, на которые разбивают данный треугольник три прямые, указанные в условии задачи. Тогда по доказанному площади параллелограммов равны 2, 2 и 2. Следовательно, произведение этих площадей равно 8S₁S₂S₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1393