Задача 53664

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Докажите, что разность расстояний от этой точки до прямых, содержащих боковые стороны треугольника, равна высоте, опущенной на боковую сторону.

Подсказка

Через данную точку проведите прямую, параллельную одной из боковых сторон данного треугольника (или примените метод площадей).

Решение

  Пусть точка M лежит на продолжении за точку C основания BC равнобедренного треугольника ABC, P и Q – проекции точки M на прямые AC и AB соответственно, CD – высота треугольника ABC.

  Первый способ. Через точку M проведём прямую, параллельную AB до пересечения с прямой AC в точке N. Тогда треугольник NCM также равнобедренный. Если CE – его высота, то точки D, C и E лежат на одной прямой и  CE = MP.  Следовательно,  MQ – MP = DE – CE = CD.

  Второй способ.  S_ABC = S_ABM – S_ACM,  или  ½ AB·CD = ½ AB·MQ – ½ AC·MP,  а так как  AC = AB,  то  CD = MQ – MP.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1399