Задача 53671

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две вершины квадрата расположены на основании равнобедренного треугольника, а две другие — на его боковых сторонах. Найдите сторону квадрата, если основание треугольника равно a, а угол при основании равен 30^o.

Решение

Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC, а вершины K и L — на основании AС = a. Обозначим через x сторону квадрата.

Из прямоугольных треугольников AML и CNK находим, что

AL = KC = KNctg30^o = x.

Поскольку AC = AL + LK + KC, имеем уравнение

a = x + x + x,

откуда находим, что

x = = .

Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC, а вершины K и L — на основании AС = a. Обозначим через x сторону квадрата.

Из прямоугольных треугольников AML и CNK находим, что

AL = KC = KNctg30^o = x.

Поскольку AC = AL + LK + KC, имеем уравнение

a = x + x + x,

откуда находим, что

x = = .

Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC, а вершины K и L — на основании AС = a. Обозначим через x сторону квадрата.

Из прямоугольных треугольников AML и CNK находим, что

AL = KC = KNctg30^o = x.

Поскольку AC = AL + LK + KC, имеем уравнение

a = x + x + x,

откуда находим, что

x = = .

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1406