ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53672
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B . Известно, что AO1B= 90o , AO2B = 60o , O1O2=a . Найдите радиусы окружностей.

Решение

Пусть линия центров O1O2 пересекает общую хорду AB окружностей в точке M . Тогда M — середина AB и O1O2 AB . Треугольник AO1B — прямоугольный и равнобедренный, а треугольник AO2B — равносторонний, поэтому, если r и R — радиусы окружностей с центрами O1 и O2 соответственно, то AB=r и AB=R , значит, R=r . Тогда

O1M=, O2M== =


Предположим, что центры окружностей лежат по разные стороны от прямой AB . Тогда O1M+MO2=O1O2 , или +=a . Отсюда находим, что
r=, R=r=.


Если же точки O1 и O2 лежат по одну сторону от прямой AB , то O2M-MO1=O1O2 . Тогда
r=, R=r=.


Ответ

, или , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1407

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .