Информация о задаче

Задача 53682

Темы:	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD равна a и образует углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно с большим основанием AD и боковой стороной AB. Найдите основания трапеции.

Подсказка

Обозначьте через x и y основания трапеции и составьте систему уравнений относительно x и y.

Решение

Обозначим BC = x, AD = y. Пусть CH — высота трапеции. Тогда

AH = AC cos $\displaystyle \angle$ CAH = a cos $\displaystyle \alpha$ , CH = AC sin $\displaystyle \angle$ CAH = a sin $\displaystyle \alpha$ ,

DH = CHctg $\displaystyle \angle$ CDH = a sin $\displaystyle \alpha$ ctg( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ).

Поскольку

DH = $\displaystyle {\frac{AD-BC}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{y-x}{2}}$ , AH = $\displaystyle {\frac{AD+BC}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{y+x}{2}}$ ,

то имеем систему

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} \frac{y-x}{2} = a\sin \alph... ...ctg }(\alpha+\beta)\\ \frac{y+x}{2} = a\cos \alpha, \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} \frac{y-x}{2} = a\sin \alpha {\rm ctg }(\alpha+\beta)\\ \frac{y+x}{2} = a\cos \alpha, \\ \end{array}$

из которой находим, что

x = a(cos $\displaystyle \alpha$ - sin $\displaystyle \alpha$ ^.ctg( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )), y = a(cos $\displaystyle \alpha$ + sin $\displaystyle \alpha$ ^.ctg( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )).

Ответ

a(cos $\alpha$ ±sin $\alpha$ ^.ctg( $\alpha$ + $\beta$ )).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1416