Дан треугольник со сторонами 12, 15, 18. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большой стороне. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

   Решение

Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла.
По какой траектории движется середина этого отрезка?

   Решение

Вписанная окружность треугольника A₁A₂A₃ касается сторон A₂A₃, A₃A₁ и A₁A₂ в точках S₁, S₂ и S₃ соответственно. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры вписанных окружностей треугольников A₁S₂S₃, A₂S₃S₁ и A₃S₁S₂ соответственно. Докажите, что прямые O₁S₁, O₂S₂ и O₃S₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника A₁A₂A₃ касается сторон A₂A₃, A₃A₁ и A₁A₂ в точках S₁, S₂ и S₃ соответственно. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры вписанных окружностей треугольников A₁S₂S₃, A₂S₃S₁ и A₃S₁S₂ соответственно. Докажите, что прямые O₁S₁, O₂S₂ и O₃S₃ пересекаются в одной точке.

Подсказка

Докажите, что если прямые, проходящие через точку M, касаются некоторой окружности в точках K и N, то центр вписанной окружности треугольника KMN совпадает с серединой меньшей дуги KN исходной окружности.

Решение

  Лемма. Пусть прямые, проходящие через точку M, касаются окружности ω в точках K и N. Тогда центр вписанной окружности треугольника KMN совпадает с серединой меньшей дуги KN окружности ω.
  Доказательство. Пусть O – середина указанной дуги. Тогда  ∠MKO = ∠KNO = ∠NKO,  поэтому KO – биссектриса угла MKN. Аналогично NO – биссектриса угла MNK. Следовательно, O – центр вписанной окружности треугольника KMN.

  Из леммы следует, что центры O₁, O₂ и O₃ вписанных окружностей треугольников A₁S₂S₃, A₂S₃S₁ и A₃S₁S₂ являются серединами дуг S₂S₃, S₁S₃ и S₁S₂ вписанной окружности треугольника A₁A₂A₃. Значит, прямые O₁S₁, O₂S₂ и O₃S₃ содержат биссектрисы углов треугольника S₁S₂S₃ и поэтому пересекаются в одной точке.

             

Источники и прецеденты использования