Информация о задаче

Задача 53693

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 60^o. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите её радиус.

Подсказка

Примените формулу a = 2R sin $\alpha$ .

Решение

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AC = 1, AB = 2 и углом CAB, равным 60^o. По теореме косинусов находим, что BC = $\sqrt{3}$ . Значит, треугольник ABC — прямоугольный, $\angle$ ACB = 90^o, $\angle$ ABC = 30^o. Поскольку O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то

$\displaystyle \angle$ BOC = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ CAB = 90^o + 30^o = 120^o.

Если R — искомый радиус, то

R = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \angle BOC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sin 120^{\circ}}}$ = 1.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	427