|
|
 |
Условие
Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из его углов, делит этот угол на три равные части.
Решение
Пусть высота CD и медиана CM делят угол C треугольника ABC на три равные части. Предположим, что точка D расположена между B и M. Обозначим ∠BCD = ∠DCM = ∠ACM = α. Поскольку в треугольнике BCM высота CD является биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный, поэтому CD – медиана треугольника BCM и BD = DM.
Первый способ. Пусть K – проекция точки M на AC. Тогда из равенства прямоугольных треугольников CKM и CDM (по гипотенузе и острому углу) следует, что MK = DM = ½ BM = ½ AM.
Значит, ∠MAK = 30°. Следовательно, 2α = ∠ACD = 90° – ∠MAK = 60°, α = 30°, ∠C = 3α = 90°, ∠B = 60°.
Второй способ. Биссектриса CM треугольника ACD делит сторону AD на отрезки, пропорциональные сторонам AC и CD, то есть
CD : AC = DM : AM = DM : BM = ½.
Значит, ∠CAD = 30°. Следовательно,
2α = ∠ACD = 90° – ∠CAD = 60°, α = 30°.
Ответ
30°, 60°, 90°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1430 |
