Информация о задаче

Задача 53702

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка D делит сторону BC в отношении 3 : 1, считая от вершины B, а точка E — середина отрезка AD. Известно, что BE = $\sqrt{7}$ , CE = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Подсказка

Воспользуйтесь формулой для медианы треугольника:

m² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2a² + 2b² - c²),

где a, b, c — стороны треугольника, m — медиана, проведённая к стороне, равной c.

Решение

Воспользуемся формулой для медианы треугольника:

m² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2a² + 2b² - c²),

где a, b, c — стороны треугольника, m — медиана, проведённая к стороне, равной c.

Пусть CD = x. Тогда BD = 3x, AB = BC = 4x. Если M — середина стороны BC, то EM — средняя линия треугольника ABD, поэтому EM = 2x. С другой стороны, EM — медиана треугольника BEC, поэтому

EM² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2BE² + 2CE² - BC²), или 4x² = 2^.7 + 2^.9 - 16x²,

откуда находим, что x = 1.

Поскольку DE — медиана треугольника MEC, то

ED² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2ME² + 2CE² - MC²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2^.4x² + 2^.9 - 4x²) = $\displaystyle {\textstyle\frac{22}{4}}$ .

Значит,

ED = $\displaystyle {\frac{\sqrt{22}}{2}}$ , AD = $\displaystyle \sqrt{22}$ .

Поскольку CE — медиана треугольника ACD, то

CE² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2AC² + 2CD² - AD²), или 9 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (2AC² + 2 - 22),

откуда находим, что AC = $\sqrt{28}$ . Тогда

cos $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\frac{AC}{2BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{28}}{8}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{4}}$ , sin $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ .

Если R — радиус описанной окружности треугольника ABC, то

R = $\displaystyle {\frac{AB}{2\sin \angle ACB}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{\frac{3}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ .

Ответ

${\frac{8}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1436