ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53702
Темы:    [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка D делит сторону BC в отношении 3 : 1, считая от вершины B, а точка E — середина отрезка AD. Известно, что BE = $ \sqrt{7}$, CE = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.


Подсказка

Воспользуйтесь формулой для медианы треугольника:

m2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2a2 + 2b2 - c2),

где a, b, c — стороны треугольника, m — медиана, проведённая к стороне, равной c.


Решение

Воспользуемся формулой для медианы треугольника:

m2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2a2 + 2b2 - c2),

где a, b, c — стороны треугольника, m — медиана, проведённая к стороне, равной c.

Пусть CD = x. Тогда BD = 3x, AB = BC = 4x. Если M — середина стороны BC, то EM — средняя линия треугольника ABD, поэтому EM = 2x. С другой стороны, EM — медиана треугольника BEC, поэтому

EM2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2BE2 + 2CE2 - BC2), или 4x2 = 2 . 7 + 2 . 9 - 16x2,

откуда находим, что x = 1.

Поскольку DE — медиана треугольника MEC, то

ED2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2ME2 + 2CE2 - MC2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2 . 4x2 + 2 . 9 - 4x2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{22}{4}}$.

Значит,

ED = $\displaystyle {\frac{\sqrt{22}}{2}}$AD = $\displaystyle \sqrt{22}$.

Поскольку CE — медиана треугольника ACD, то

CE2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2AC2 + 2CD2 - AD2), или 9 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(2AC2 + 2 - 22),

откуда находим, что AC = $ \sqrt{28}$. Тогда

cos$\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle {\frac{AC}{2BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{28}}{8}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{4}}$, sin$\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$.

Если R — радиус описанной окружности треугольника ABC, то

R = $\displaystyle {\frac{AB}{2\sin \angle ACB}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{\frac{3}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$.


Ответ

$ {\frac{8}{3}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1436

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .