Задача 53718

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что треугольник с вершинами в центрах описанных окружностей треугольников BHC, AHC и AHB равен треугольнику ABC.

Подсказка

Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников BHC, AHC и AHB равны.

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃ — центры описанных окружностей треугольников BHC, AHC и AHB соответственно. Докажем сначала, что эти окружности равны. В самом деле, если R и R₁ — радиусы описанных окружностей треугольников ABC и BHC, то

R₁ = = =

= = R.

Аналогично для остальных окружностей.

Четырёхугольники AO₂HO₃ и HO₂CO₁ — ромбы, поэтому

AO₃ = O₂H = CO₁, AO₃ || O₂H || CO₁.

Аналогично

AO₂ = BO₁, AO₂ || BO₁.

Значит, треугольники O₂AO₃ и BO₁C равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, O₂O₃ = BC. Аналогично O₁O₃ = AC и O₁O₂ = AB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1452