Задача 53719

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В окружность вписан равносторонний треугольник. Докажите, что хорда, соединяющая середины дуг, отсекаемых сторонами треугольника, делится этими сторонами на три равные части.

Подсказка

Пусть ABC — равносторонний треугольник, D и E — середины меньших дуг AB и AC его описанной окружности, F и G — точки пересечения хорды DE со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что AFD и AGE — равнобедренные треугольники.

Решение

Пусть ABC — равносторонний треугольник, D и E — середины меньших дуг AB и AC его описанной окружности, F и G — точки пересечения хорды DE со сторонами AB и AC соответственно.

Поскольку меньшие дуги DB и EC равны, то DE || BC, поэтому треугольник AFG — равносторонний. Далее имеем:

ADF = FAD = EAG = AEG,

следовательно,

FD = AF = FG = AG = EG.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1453