ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53719
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан равносторонний треугольник. Докажите, что хорда, соединяющая середины дуг, отсекаемых сторонами треугольника, делится этими сторонами на три равные части.


Подсказка

Пусть ABC — равносторонний треугольник, D и E — середины меньших дуг AB и AC его описанной окружности, F и G — точки пересечения хорды DE со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что AFD и AGE — равнобедренные треугольники.


Решение

Пусть ABC — равносторонний треугольник, D и E — середины меньших дуг AB и AC его описанной окружности, F и G — точки пересечения хорды DE со сторонами AB и AC соответственно.

Поскольку меньшие дуги DB и EC равны, то DE || BC, поэтому треугольник AFG — равносторонний. Далее имеем:

$\displaystyle \angle$ADF = $\displaystyle \angle$FAD = $\displaystyle \angle$EAG = $\displaystyle \angle$AEG,

следовательно,

FD = AF = FG = AG = EG.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1453

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .