Информация о задаче

Задача 53726

Тема:

[

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABKC сторона AB равна $\sqrt{3}$ , диагональ BC равна 1, а углы ABC, BKA и BKC равны 120^o, 30^o и 60^o соответственно. Найдите сторону BK.

Подсказка

Докажите, что $\angle$ BCK = 90^o + $\angle$ BAK и примените теорему синусов к треугольникам ABK и BKC.

Решение

Пусть M — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABKC. Обозначим $\angle$ BAK = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ KMC = $\displaystyle \angle$ AMB = 60^o - $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ BCK = 180^o - $\displaystyle \angle$ KMC - $\displaystyle \angle$ MKC = 90^o + $\displaystyle \alpha$ .

Применяя теорему синусов к треугольникам ABK и BCK, получим:

$\displaystyle {\frac{BK}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{\sin 30^{\circ}}}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

$\displaystyle {\frac{BK}{\cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{\sin 60^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$ ,

откуда находим tg $\alpha$ = ${\frac{1}{3}}$ . Значит, cos $\alpha$ = ${\frac{3}{\sqrt{10}}}$ . Следовательно,

BK = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{3}}}$ cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{6}{5}}$ .

Ответ

$\sqrt{\frac{6}{5}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1460